Pleidooi om de kennis over het verwerken, vastleggen en oproepen van informatie te benutten, om hierdoor de rekendidactiek steviger te funderen en de dagelijkse lespraktijk op een meer wetenschappelijke basis vorm te geven. Over kennis, opgeslagen in schema’s.
Menselijke informatieverwerking
Wetenschappelijke basis
In dit artikel gaat het over de didactiek, waarmee we in het rekenonderwijs de gestelde doelen kunnen bereiken. We weten tegenwoordig veel over de manier waarop mensen informatie verwerken, in het langetermijngeheugen vastleggen en vervolgens op het goede moment weer kunnen oproepen. Daar bestaat harde, wetenschappelijke kennis over. Het wordt hoog tijd dat we die kennis benutten, om de didactiek van het vak rekenen steviger te funderen en de dagelijkse praktijk in onze lessen, klassen en scholen vorm te geven op een meer wetenschappelijke basis.
Retorisch geweld
In onderlinge discussies kunnen en moeten we het stadium overstijgen van de persoonlijke opinies, die vaak gebaseerd zijn op eigen leerervaringen. Het is hoopgevend, dat de genoemde “harde, wetenschappelijke kennis” veelal goed spoort met de lespraktijken van goede leerkrachten. Helaas worden die leerkrachten vaak in de debatten over de kwaliteit en de didactiek van het reken- en wiskundeonderwijs overstemd door een vorm van “retorisch geweld”, die goed scoort in onze mediacultuur. Retorisch geweld, dat zich niet houdt aan de regels van bewijsvoering, van redeneren in termen van oorzaken en gevolgen en dat zich óók niet houdt aan het controleren van feiten en al die andere denkmethoden, waar wij in het onderwijs zo veel waarde aan hechten.
Kennis, opgeslagen in schema’s
Richard Skemp
Voor een uitleg over de manier waarop ons geheugen werkt en kennis wordt opgeslagen en weer opgeroepen, gebruik ik plaatjes van Richard Skemp, een psycholoog, wiskundige en didacticus, op wiens werk in Nederland door veel wiskundedidactici is voortgebouwd. Veel van wat hij ooit betoogde en opschreef, is in de afgelopen dertig jaar bevestigd door psychologisch onderzoek naar het leren van mensen en de werking van het geheugen.
Wat weet je al?
In figuur 1 stelt A een probleem (of een situatie) voor. Je neemt het (A) waar, je leest het, je ziet het, je moet er iets mee doen, je vraagt je af of je er iets over weet. Je werkgeheugen – dat is de actueel beschikbare geheugenruimte, waarmee je denkt – neemt A op. En dat werkgeheugen probeert daarna een verbinding te leggen met wat je al weet: je langetermijngeheugen (een netwerk van feiten, begrippen, regels, verbindingen en routines).
Figuur 1: zoeken naar relevante kennis.
De relatie tussen het probleem en het bijpassende schema (dat hopelijk bestaat!) in je langetermijngeheugen is nog niet gelegd.
Probleemverkenning, een plaatje schetsen, een getallenvoorbeeld proberen en dergelijke leiden tot een meer adequate, mentale voorstelling van de probleemsituatie, waardoor de zoektocht naar relevante kennis meer succesvol kan zijn. (Zie: figuur 2.)
Figuur 2: een verbinding leggen.
Een schema oproepen
Kennis is in het menselijk geheugen – als het goed is – opgeslagen in de vorm van zinvolle clusters, netwerken, knopen en verbindingen, schema’s of welk woord je hiervoor ook maar wilt gebruiken. Je identificeert probleem A, je herinnert je iets, je denkt te weten waar het mee te maken heeft. Een eerste, bijpassend schema wordt opgeroepen uit je langetermijngeheugen. Dit is nog globaal: je plaatst situatie A in een bepaald gebied van je geheugen, waar je iets over weet.
Voorbeeld 1
Hier gaat al vaak iets mis, als je geen aandacht hebt voor enige verkenning van het probleemi (de situatie). Voor veel leerlingen betekent deze fase soms het oproepen van een heel “arm” schema. Iets van: o ja, ik moet wegstrepen.
Bijvoorbeeld:
3 : 1/5 = …
Delen door een breuk is iets omkeren en vermenigvuldigen. Maar: wat moet je omkeren? Leerlingen produceren soms wel vijf verschillende antwoorden, met diverse rekenregels. Of ze gaan terug naar de betekenis van delen.
In ons voorbeeld:
hoe vaak gaat 1/5 in 3?
Voorbeeld 2
Nog een voorbeeld: er moeten 25 mensen in auto’s. In een auto passen 4 mensen. Hoeveel auto’s zijn er nodig? Dus: delen!
25 : 4 = 6, rest 1. Dus: 6 auto’s.
In een soort pavlovreactie kun je in je geheugen de opgave koppelen aan een rekentruc. Die associatieve koppeling zonder betekenis gaat alleen goed, als direct na de training weer eenzelfde opgave volgt of als de toets nog dezelfde week is. Het gaat al mis, als er meerdere rekentrucs in aanmerking komen.
De weg zoeken in het schema
Ik ben in A en ik moet naar D. D is het doel, dat ik moet bereiken. (Zie: figuur 3) Hoe kom ik daar? Heb ik iets in huis, in mijn langetermijngeheugen, waarmee ik die weg kan vinden?
Soms moet ik een plan maken: ik moet dan bedenken wat ik achtereenvolgens moet doen. Hier zijn we al in het gebied van de probleemaanpak: wat helpt mij om de weg te vinden?
Figuur 3: hoe kom ik van A naar D?
Verschillende oplossingswegen
Het kan zó (zie: figuur 4), maar het kan óók anders (zie: figuur 5). Beide oplossingswegen leiden tot het doel. Voor de ene leerling is de kortste (verkorte) weg begaanbaar, terwijl een andere leerling steeds een meer uitgebreide (maar wél veilige) route moet bewandelen, om niet te verdwalen.
Figuur 4: de ene route naar het doel (D).
Figuur 5: een andere route naar het doel (D).
Routines
Zo zijn er meerdere routes in een bepaald kennisgebied, die vaak kunnen worden bewandeld. Dat zijn de routines: snel op te roepen, feilloos uit te voeren, gememoriseerd. (Zie: figuur 6.) Het is voor rekenen en wiskunde een essentieel onderdeel van de kennis, die je paraat moet hebben en paraat moet houden.
Figuur 6: beschikbare routines.
Kun je een probleem of een situatie – na verkenning – direct koppelen aan een relevante routine, om een deelhandeling bijna automatisch uit te voeren? Dan houd je ruimte over in je werkgeheugen, om aan het eigenlijke probleem te werken.
Kun je dat niet? En moet je ook die deelhandeling opnieuw uitvinden? Dan raak je intussen het zicht op het eigenlijke probleem kwijt. Want je werkgeheugen raakt overbelast.
Zo is het van belang, dat je op een bepaald moment de tafels hebt gememoriseerd en je onmiddellijk herkent dat dit probleem te maken heeft met: 6 x 4 = 24 of met: 24 : 4 = 6. Dan kun je je richten op de vraag hoe het verder moet om je doel (de oplossing) te bereiken.
Losgeraakte routines
We komen nu bij een serieus didactisch probleem. Afzonderlijk trainen en oefenen, zónder samenhang met andere begrippen en methoden, kan leiden tot onbegrip! En niet oefenen leidt tot een te zwakke beheersing!
Figuur 7: losgeraakte routines.
Inoefenen van de procedure
Links het voorbeeld en rechts 25 opgaven werkt voor het inoefenen van de procedure. Bij de didactiek voordoen, nadoen, oefenen wordt de leerstof in kleine eenheden opgesplitst:
– Het begint met voordoen van eenvoudige voorbeelden.
– Dan volgt het laten nadoen onder controle.
– En vervolgens oefenen leerlingen een lange reeks vergelijkbare opgaven, opklimmend in moeilijkheidsgraad.
Leerlingen kunnen snel aan de slag en het leidt tot succes op de korte termijn. Dit oefenen van afzonderlijke procedures kan echter leiden tot losgeraakte routines. De routines zijn dan losgeraakt van hun betekenis en worden afzonderlijk opgeslagen in het langetermijngeheugen. (Zie: figuur 7.)
Een voorbeeld
Een voorbeeld hiervan is het volgende. Een leerkracht in groep 7 leert de kinderen staartdelen op de traditionele manier, omdat hij kolomsgewijs rekenen maar lastig vindt. Hij is heel tevreden over de resultaten. Helaas blijken zijn leerlingen in de komende jaren geen idee te hebben hoe ze een deling moeten berekenen: het begrip delen is losgeraakt van het “kunstje”.
Sommige leerlingen komen zélf tot de verkorting en kunnen ook nog uitleggen waarom het werkt. Prima! Andere leerlingen hebben het kolomsgewijs rekenen nodig, om te kunnen vasthouden hoe en waarom het werkt. Ook prima!
Schema’s, rijk aan betekenis
Functioneel gebruik
Het rekenen stond heel lang in het teken van het cijferen: het heel overzichtelijk en foutloos uitvoeren van lange rijen berekeningen. Want maatschappelijk was dat vroeger heel belangrijk. Tegenwoordig ligt de nadruk echter veel meer op het functioneel gebruiken van de kennis en routines in allerlei situaties. In vervolgopleidingen en in het maatschappelijk functioneren kom je geen “kale” rekenopgaven tegen. Altijd zijn ze “verstopt” in een situatie.
Transfer
We weten al heel lang dat de transfer niet vanzelf gaat. Het is strikt noodzakelijk, om ook die transfer tot onderwerp van het oefenen te maken. Alleen “rechttoe rechtaan” oefenen van procedures leidt niet tot het weten wanneer je die procedure nodig hebt. Daarvoor is gevarieerd oefenen nodig: het koppelen aan betekenissen, aan het grotere geheel, aan de situaties waarin de procedure wordt gebruikt. Het gaat om toetsing van de routines in een steeds maar groeiende verzameling opgaven en in allerlei contexten.
Voorwaarden
In het onderwijs moeten we voor leerlingen dus stap voor stap werken aan het opbouwen van schema’s, die rijk aan betekenis zijn. Daarin moet plaats zijn voor het oefenen van allerlei procedures, zoals de tafels en het cijferen. Maar ook moet er veel ruimte gemaakt worden voor het koppelen van deze procedures aan betekenissen. Dan kunnen leerlingen optimaal een samenhangend en wendbaar schema aan begrippen, methoden en routines verwerven.
Wat werkt wél en wat werkt niet?
Adviezen
Het recente rapport Rekenonderwijs op de basisschool van de wetenschappers van de KNAW (Koninklijke Nederlandse Akadiie van Wetenschappen) heeft weer eens duidelijk giaakt, dat het publieke geruzie over ouderwets of realistisch rekenen de plank volkomen misslaat. Er is géén simpel didactisch recept voor het bereiken van een hoge opbrengst van het rekenonderwijs. Vakbekwame leerkrachten, ruime onderwijstijd, een goede interactie tussen de leerkracht en de klas over de rekenkundige begrippen en routines én een beperking van de overmaat aan het zelfstandig maken van sommen: dát zijn de gezonde adviezen van de KNAW.
Leerdoelen
In ons rapport over de referentieniveaus maken we een onderscheid tussen drie typen leerdoelen, namelijk: paraat hebben, functioneel gebruiken en uitleggen waarom. We benadrukken, dat goed rekenonderwijs altijd een verwevenheid kent van deze drie aspecten. We begrijpen nu het volgende:
• Voordoen, nadoen, oefenen leidt niet tot een blijvende leeropbrengst, omdat dan die routines los worden opgeslagen en na een tijdje niet meer adequaat kunnen worden opgeroepen.
• Opsplitsing van de leerstof in kleine deelgebieden, die los van elkaar worden onderwezen, leidt tot ad-hocsucces op dat moment, maar niet tot samenhangende kennis.
• Leerlingen kunnen hun routines niet adequaat inzetten in dagelijkse situaties, als ze niet hebben geleerd om die routines in die situaties te gebruiken.
• Leerlingen kunnen hun kennis niet functioneel gebruiken, als ze hun routines onvoldoende paraat hebben.
• Leerlingen kunnen – zelfstandig sommetjes makend – niet een rijk schema opbouwen van aan elkaar gekoppelde begrippen, routines en dagelijkse situaties.
• Leerkrachten zijn verantwoordelijk voor gevarieerd oefenen, het onderhouden van routines, het koppelen aan alledaagse situaties en het doorvragen naar betekenissen en het waarom.
• Paraat hebben, functioneel gebruiken en uitleggen waarom vormen een onverbrekelijke mix in goed rekenonderwijs.
