Inzicht in oppervlaktes

Oppervlakte is een lastig begrip. Kinderen in de bovenbouw kunnen meestal wel de formule van lengte maal breedte toepassen. Maar als er écht inzicht nodig is, dan blijkt hun kennis vaak beperkt. Ook het omrekenen vanuit de ene maat naar een andere is voor veel kinderen een procedure, die ze niet goed doorzien.
Een belangrijk probleem zit in het feit dat meters en centimeters lengtematen zijn, terwijl de kern van oppervlakte “volleggen” is. De activiteiten die kinderen in groep 3, 4 en 5 hebben gedaan – bijvoorbeeld rond het meten van oppervlakte met blaadjes papier – raken vergeten, als ze in groep 6 en 7 met standaardmaten moeten werken. Het lijkt vaak alsof de formule “lengte maal breedte” elk inzicht bij de leerlingen aan de kant schuift…

Inzicht via discussie en interactie

In dit artikel bespreken we een lessenserie rond oppervlakte voor groep 6/7. We zullen proberen duidelijk te maken wat inzicht in oppervlakte inhoudt en hoe kinderen dat inzicht kunnen ontwikkelen. U kunt de lessenserie downloaden via de link in de lijst hierboven.
De lessen zijn ontworpen binnen een project2, dat zich richt op het lesgeven via onderzoekslessen. We bedoelen daarmee: lessen van 30 tot 45 minuten, waarin de leerkracht een wat groter probleem opgeeft, dat de leerlingen daarna samen proberen op te lossen. De nadruk ligt op het ontwikkelen van inzicht via discussie en interactie. We zullen ons betoog illustreren met een aantal observaties in groep 7.

Heruitvinden van eerder gedane ontdekkingen

Vooraf

Ons systeem van maten voor lengte, oppervlakte en inhoud is uiterst elegant. Alles is gebaseerd op dezelfde eenheden (cm, dm, m, enzovoort), die eenvoudig in elkaar om te rekenen zijn. Het heeft echter eeuwen en eeuwen gekost om dit elegante systeem te ontwikkelen. Vóór die tijd waren maten altijd sterk gebonden aan een bepaalde situatie. Kleermakers gebruikten andere maten dan bouwmeesters. En alle maten verschilden bovendien van stad tot stad.
Al is ons systeem erg elegant, we kunnen niet volstaan met leerlingen simpelweg te vertellen hoe het werkt. Want de kennis die leerlingen dan opdoen, is heel kwetsbaar. Het is beter dat leerlingen zélf ervaren wat ons systeem van maten zo handig maakt. De lessen die we hebben ontworpen, zijn erop gericht, dat leerlingen een aantal ontdekkingen van vroeger als het ware zelf kunnen heruitvinden. We zullen aan de hand van een les in groep 7 – de derde les in de serie – laten zien wat we onder dat “heruitvinden” verstaan. (Zie: Overzicht van de lessen, op pag. 29.)

Les

• Circuit
De les is door Jasmina, de leerkracht van groep 7, georganiseerd als een circuit. Verspreid over de klas staan vijf tafels, die leerlingen moeten opmeten met blaadjes van verschillende vorm en verschillende grootte. In feite bestaat elke tafel uit vier tegen elkaar geschoven leerlingentafeltjes. Maar Jasmina heeft expliciet gezegd, dat het niet de bedoeling is om één tafeltje vol te leggen en dan het aantal maal vier te doen. De verwachting is dat de grotere tafels zullen uitnodigen tot samenwerken en overleggen.

• Discussie
Op elke tafel liggen stapeltjes met blaadjes, die als maat dienen:
– grote en kleine, vierkante blaadjes;
– grote en kleine, rechthoekige blaadjes;
– ronde blaadjes.
Het doel van de les is om discussie te krijgen over een aantal punten:
– Hoe belangrijk is het dat de blaadjes die je als maat gebruikt op elkaar aansluiten? (Deze discussie zou vooral door de ronde blaadjes moeten worden uitgelokt.)
– Hoe kun je het aantal blaadjes op een tafel uitrekenen via vermenigvuldigen?
– Is het daarbij belangrijk of rechthoekige blaadjes in dezelfde richting liggen?
– Maakt het verschil of je grote of kleine blaadjes gebruikt?

• Vermenigvuldigen is niet vanzelfsprekend
In de les van Jasmina werken de leerlingen ongeveer een half uur aan de opdrachten van het circuit. Daarbij blijkt, dat het voor veel kinderen nog helemaal niet zo vanzelfsprekend is dat je hier kunt vermenigvuldigen. Want vaak begint een van de kinderen de blaadjes stuk voor stuk te tellen. Maar meestal is er dan wel een ander kind in het groepje, dat opmerkt dat het ook met een keersom kan.
• Belangrijkste ontdekking
Na het circuit bespreekt Jasmina met de leerlingen wat ze allemaal ontdekt hebben. Onder andere komt het volleggen met ronde blaadjes aan de orde. De conclusie is dat ronde blaadjes niet handig zijn. Want door het volleggen met ronde blaadjes houd je steeds een stukje over.
De belangrijkste ontdekking is echter die van Nikki en Arthur.
Tamar: “En Nikki en Arthur hebben ook ontdekt, dat je alleen de buitenkant hoeft te tellen om te weten wat de oppervlakte is.”
Leerkracht: “De buitenkant, daar bedoel je mee…?”
Tamar: “Eh…, zeg maar, eh…, de omtrek.”
(De leerkracht wijst aan wat de omtrek van het bord zou zijn.)
Arthur: “Je legt alleen hier deze rand en daar die rand helemaal vol (hij wijst naar de bovenrand en een zijrand) en dan doe je die keer die, of andersom, die keer die. En dan weet je het.”
Leerkracht: “Hé, Arthur zegt dus dat je niet alles hoeft vol te leggen met blaadjes. Je kunt ook de twee zijkanten volleggen en dan een keersom doen.”

De werkwijze van Nikki en Arthur wordt door de rest van de klas als een échte ontdekking ervaren, want de meeste groepjes hadden hun tafels steeds helemaal volgelegd. De stap is heel belangrijk, want deze aanpak ligt al dicht tegen het bepalen van de oppervlakte vanuit lengte en breedte aan.

• Inzicht stap voor stap opbouwen
De beschreven les kan er dus voor zorgen, dat leerlingen nadenken over het volleggen, over het voordeel van vermenigvuldigen boven tellen en over het verkorten van het volleggen tot het bepalen van het aantal blaadjes in de ene en de andere richting.
Vanuit de ontdekkingen die de leerlingen doen, wordt stap voor stap het inzicht opgebouwd, dat kinderen nodig hebben. Freudenthal noemde dit proces: geleid heruitvinden (guided reinvention), waarbij de term geleid aangeeft, dat leerlingen zulke ontdekkingen niet zomaar vanzelf doen. Het proces moet gestuurd worden, door de opgave én door de manier waarop de leerkracht de discussie leidt.

Oppervlakte berekenen vanuit lengte

Vooraf

• Moeilijke overstap
Het moeilijkst voor leerlingen is de overstap van het meten met vierkante blaadjes (of een soortgelijke maat) naar het rekenen via lengtes. De redenering achter die overstap is de volgende: je wilt weten hoeveel vlakjes (maten) er in de ene richting passen en hoeveel vlakjes (maten) er in de andere richting passen. Als je dat wilt weten, hoef je alleen maar te meten hoe vaak de maat past. Je kunt een liniaal of meetlint – instrumenten voor het meten van lengte – dus ook gebruiken om oppervlakte te bepalen.
Door de overstap naar het rekenen met lengtes verdwijnt bij veel kinderen het idee, dat het om het volleggen gaat. Ze weten dat ze iets moeten doen met lengte maal breedte. Maar in die lengtematen zien ze geen relatie meer met oppervlakte.

• Meetstrook
Omdat dit zo’n belangrijk punt is, beschrijven we hierna hoe u de overstap van volleggen naar meten met een strook zó kunt maken, dat de leerlingen de relatie tussen die twee blijven zien.
In het voorafgaande beschreven we al de ontdekking in het groepje van Arthur en Nikki: je hoeft alleen maar te weten hoeveel blaadjes er in de ene richting kunnen liggen en hoeveel blaadjes er in de andere richting kunnen liggen. De stap daarna is om kinderen te laten werken met een meetstrook van aan elkaar geplakte, vierkante blaadjes. In onze lessenserie is dit de vierde les. (Zie weer het Overzicht van de lessen, op pag. 29.)

Les

• Oppervlaktes opmeten
Jasmina begint haar les met te bespreken wat de leerlingen de voorgaande keren ontdekt hebben. Daarna laat ze zien dat ze voor de leerlingen stroken heeft gemaakt van drie soorten vierkante blaadjes. De kinderen mogen er namen voor bedenken. Ze komen met: mini, medium en big.
Elk groepje krijgt drie stroken en gaat daarmee in de klas oppervlaktes opmeten. De groepjes mogen zelf kiezen welke oppervlaktes ze gaan opmeten. Het opmeten duurt in totaal ongeveer twintig minuten. Van alles wordt er opgemeten. Ook heel kleine dingen, zoals gummen!

• Klassikale nabespreking
In de klassikale nabespreking vertellen leerlingen namens hun groepje wat ze gedaan hebben. Als voorbeeld nemen we het groepje van Cas. Hij begint met te vertellen wat zijn groepje opgemeten heeft: een tafeltje was 35 medium en het bord was 54 big. Hij vertelt ook dat iemand hemzelf heeft opgemeten en dat hij 9 big groot was. De leerkracht vraagt meteen of het bij het opmeten van hemzelf wel om zijn oppervlakte ging. Cas geeft toe dat zijn lengte is gemeten.
Hij gaat dan door met zijn lijst met voorwerpen: een poster, een keukenkastje, het aanrecht, enzovoort. Het grootste dat ze hebben opgemeten, was de vloer van de klas. En die was 5475 medium!

• Grote en kleine maten
Er is dus heel wat gerekend in het groepje van Cas. De kinderen konden blijkbaar niet de verleiding weerstaan om ook Cas zélf op te meten! Maar verder was steeds wél duidelijk gebleven dat het om oppervlaktes ging.
In de bespreking van het werk van de groepjes kwam duidelijk naar voren, dat je zowel met kleine maten als met grote maten kunt werken. En dat je de keuze tussen kleine en grote maten kunt laten afhangen van wat je gaat opmeten.

• Maten van de blaadjes
De stap in de les hierna was om ook de maten van de blaadjes bij het meten te betrekken. Wanneer de blaadjes die je als maat gebruikt 10 bij 10 centimeter zijn en iets is 83 cm breed, dan passen er 8 hele tegeltjes in die richting. Het is een stap, waar veel aandacht aan moet worden besteed, omdat nu opeens alleen nog maar met lengtes wordt geredeneerd, waardoor uit zicht kan raken dat het nog steeds om oppervlaktes gaat.

Fouten bij het omrekenen van maten

Omrekenen op basis van kennis en inzicht

De traditionele manier om kinderen te leren hoe je maten omrekent, is die van de metriektrap: met elke stap naar boven (of naar beneden) schuift de komma twee plaatsen op. Zo’n onderwijsaanpak legt echter de nadruk op het oefenen van een procedure, terwijl het beter is als leerlingen redeneren vanuit inzicht.
In het boek van het TAL-project over meten en meetkunde3 hebben we ervoor gepleit, dat kinderen het omrekenen doen op basis van kennis van de voorvoegsels (milli, centi, deci, hecto, enzovoort) en op basis van inzicht in de relatie tussen afpassen en volleggen. Als de vraag is hoeveel vierkante centimeter er in een vierkante meter gaan, dan moet een leerling niet denken aan een trap, maar hij/zij moet in gedachten een vierkante meter voor zich zien, met heel kleine vakjes (100 rijen van 100 vakjes).

Twee voorbeelden van fouten

Om te laten zien hoe belangrijk inzicht bij het rekenen met oppervlakte is, geven we twee voorbeelden van fouten, die kinderen kunnen maken. De vraag is niet hoe u als leerkracht zulke fouten kunt voorkomen, maar hoe u die fouten kunt aangrijpen voor een gesprek over hoe het dan wél zit.

• Fout 1: twee maal zo groot
Een fout die veel gemaakt wordt, is de volgende. Als iets “twee maal zo lang” en “twee maal zo breed” wordt, dan denken kinderen dat ook de oppervlakte “twee maal zo groot” wordt! Ons weinig specifieke taalgebruik speelt hier een storende rol bij. We zeggen bijvoorbeeld dat een tegeltje van 20 bij 20 cm “twee maal zo groot” is als een tegeltje van 10 bij 10 cm. Dan is het natuurlijk niet vreemd, dat kinderen denken dat in dat geval ook de oppervlakte “twee keer zo groot” is! Het woord groot geeft immers niet aan welke maatsoort we bedoelen. De context moet duidelijk maken wat we precies bedoelen. En meestal is dat lengte, niet oppervlakte. Als je een foto “twee keer zo groot” laat afdrukken, betekent dat, dat de foto bijvoorbeeld 10 x 15 cm was en nu 20 x 30 cm wordt!
Een voorbeeld van bovenstaande fout kwamen we tegen in een les van Wim, een andere leerkracht. De les ging over het betegelen van een wc-vloertje van 2 vierkante meter. Sven kwam naar het bord, toen al uitgerekend was dat er voor 2 vierkante meter 200 tegeltjes van 10 bij 10 cm nodig waren. Sven zei dat hij dan ook wist hoeveel tegeltjes van 5 bij 5 cm je nodig zou hebben: “Kijk, je hebt 10 bij 10. En dan door de helft delen. Dat is 5 bij 5. Dus als je er daar 200 nodig hebt, dan heb je er bij die 400 nodig.”

• Fout 2: relatie tussen oppervlaktematen
Een andere, intrigerende redeneerfout zagen we in een les van Jasmina over de relaties tussen oppervlaktematen. Een van de vragen in de les was geweest hoeveel vierkante decimeter er in een vierkante meter pasten. Iedereen was het erover eens: dat waren er 100. De leerlingen illustreerden het met tekeningen van een vierkante meter en de vierkante decimeters daarbinnen.
De volgende vraag van Jasmina was hoeveel vierkante centimeter er dan in een vierkante meter gingen. Die vraag leidde tot verschillende antwoorden, waaronder: “Dat is 1000 keer 1000, dus 1 miljoen.”

Figuur 1

In figuur 1 staat wat het groepje van Merel op het bord tekende en schreef. Het verhaal van Merel daarbij was: “In één blokje zitten 100 vierkante centimeter. Dan doe je 100 keer 10, dan heb je 1000 centimeter. En dan doe je dat ook zó (ze maakt een verticaal gebaar) en dan heb je ook 1000 centimeter. Dan doe je 1000 keer 1000 en dan heb je 1 miljoen vierkante centimeter.”
Merel rekent blijkbaar eerst uit hoeveel vierkante centimeter er in de bovenste strook van vierkante decimeters zitten. Haar volgende stap had moeten zijn: er zijn tien van zulke stroken, dus in totaal zitten er 10.000 vierkante centimeter in een vierkante meter. In plaats daarvan grijpt ze naar de zoveel-bij-zoveelformule en komt op 1000 keer 1000.

Tot slot

Het is belangrijk om attent te zijn op de genoemde fouten. Ze zijn niet te voorkomen. Maar het is ook helemaal niet erg als leerlingen in het begin zulke fouten maken. Waar het om gaat, is dat u als leerkracht de goede en de foute redeneringen van kinderen aangrijpt voor een discussie met de klas. Kinderen verwerven inzicht door hun gedachten onder woorden te brengen en hun eigen redenering te vergelijken met die van anderen.

Veel succes!

Noten

1 Over enige tijd zullen de lesbeschrijvingen óók gepubliceerd worden op www.rekenweb.nl. Voor meer informatie kunt u een e-mail sturen naar: f.vangalen@fi.uu.nl.
2 Bedoeld wordt: het project TienVeertien, van het Freudenthal Instituut. Met dank aan de leerkrachten van OBS De Torenuil in IJsselstein.
3 Zie voor meer informatie: www.fi.uu.nl/tal.